# Matematyka — zadanie 6

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/6
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Funkcja kwadratowa

## Treść

Dana jest funkcja określona wzorem \(y=x^2-4\sqrt{3}x+12\). Trzecia potęga jedynego miejsca zerowego tej funkcji to liczba:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy miejsca zerowego funkcji \(y = x^2 - 4\sqrt{3}x + 12\).

**Krok 1: Obliczenie wyróżnika**

Dla równania \(x^2 - 4\sqrt{3}x + 12 = 0\) oblicza się wyróżnik:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12$$

$$\Delta = 16 \cdot 3 - 48 = 48 - 48 = 0$$

**Krok 2: Wnioski z wyróżnika**

Ponieważ \(\Delta = 0\), funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe (pierwiastek podwójny).

**Krok 3: Obliczenie miejsca zerowego**

Dla \(\Delta = 0\) miejsce zerowe oblicza się ze wzoru:

$$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4\sqrt{3})}{2 \cdot 1} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$

**Krok 4: Obliczenie trzeciej potęgi**

Trzeba obliczyć \((x_0)^3 = (2\sqrt{3})^3\):

$$(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot \sqrt{3^3} = 8 \cdot \sqrt{27}$$

$$= 8 \cdot \sqrt{9 \cdot 3} = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$$

**Weryfikacja:**
Sprawdza się, czy \(x_0 = 2\sqrt{3}\) jest rzeczywiście miejscem zerowym:

$$y = (2\sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} + 12 = 12 - 24 + 12 = 0$$ ✓

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/6)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F6)

## Podobne zadania

- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/33) — Na podstawie zasad dynamiki można udowodnić, że torem rzutu - przy pominięciu oporów powietrza - jest fragment paraboli. Koszykarz wykonał rzut do kosza z odleg
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2022-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) Wykres funkcji kwadratowej 𝑓 określonej wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 ma z prostą o równaniu 𝑦= 6 dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty 𝐴= (-5, 0)
- [Zadanie 35](https://matura.lol/question/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35) — Zadanie 35. (0-5) (32) Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu 
- [Zadanie 32](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-maj-2018/zad/32) — W układzie współrzędnych punkty \(A = (4,3)\) i \(B = (10, 5)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y = 2x + 3\). 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_