# Matematyka — zadanie 8

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/8
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jako \(a_1\), a iloraz jako \(q\).

**Krok 1: Zapisanie warunku z treści zadania**

Siódmy wyraz: \(a_7 = a_1 \cdot q^6\)

Ósmy wyraz: \(a_8 = a_1 \cdot q^7\)

Z treści zadania:
$$a_7 + a_8 = 0$$

**Krok 2: Rozwiązanie równania**

$$a_1 \cdot q^6 + a_1 \cdot q^7 = 0$$

Wyłączamy \(a_1 \cdot q^6\) przed nawias:
$$a_1 \cdot q^6(1 + q) = 0$$

Ponieważ \(a_1 \neq 0\) (wyrazy ciągu są różne od 0) i \(q^6 \neq 0\) (bo wtedy wszystkie wyrazy od 7. byłyby równe 0), musi zachodzić:
$$1 + q = 0$$
$$q = -1$$

**Krok 3: Obliczenie sumy 1000 początkowych wyrazów**

Dla ciągu geometrycznego o ilorazie \(q = -1\):

$$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n$$

Podstawiając wartości wyrazów:
- \(a_1 = a_1\)
- \(a_2 = a_1 \cdot (-1) = -a_1\)
- \(a_3 = a_1 \cdot (-1)^2 = a_1\)
- \(a_4 = a_1 \cdot (-1)^3 = -a_1\)
- itd.

Wyrazy grupują się w pary: \((a_1 - a_1) + (a_1 - a_1) + \ldots = 0 + 0 + \ldots\)

Ponieważ \(1000\) jest liczbą parzystą, mamy dokładnie \(500\) takich par:

$$S_{1000} = \underbrace{(a_1 - a_1)}_{=0} + \underbrace{(a_1 - a_1)}_{=0} + \ldots + \underbrace{(a_1 - a_1)}_{=0} = 0$$

Alternatywnie, ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego dla \(q \neq 1\):
$$S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q} = a_1 \cdot \frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)} = a_1 \cdot \frac{1-1}{2} = 0$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/8)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F8)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_