# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2017 (podstawowa)
- rok: 2017
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Punkty \(A,B,C,D\) należą do okręgu o środku \(O\). Jeśli kąt \(ABC\) ma miarę \(70^\circ \), to kąt \(DAC\) ma miarę:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Odczytanie danych z rysunku.

Odcinki \(BC\) oraz \(AD\) przechodzą przez środek \(O\), więc obie te cięciwy są średnicami okręgu. Punkt \(O\) leży na odcinku \(BC\), zatem kąt \(ABC\) jest tym samym kątem co kąt \(ABO\):

$$|\sphericalangle ABO|=|\sphericalangle ABC|=70^\circ$$

Krok 2. Miara kąta środkowego \(AOB\).

Odcinki \(OA\) i \(OB\) są promieniami, więc trójkąt \(AOB\) jest równoramienny i kąty przy podstawie \(AB\) są równe:

$$|\sphericalangle OAB|=|\sphericalangle OBA|=70^\circ$$

Z sumy miar kątów w trójkącie:

$$|\sphericalangle AOB|=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ$$

Krok 3. Miara kąta środkowego \(DOC\).

Kąty \(AOB\) i \(DOC\) są kątami wierzchołkowymi, bo powstają przez przecięcie średnic \(BC\) i \(AD\):

$$|\sphericalangle DOC|=|\sphericalangle AOB|=40^\circ$$

Krok 4. Miara kąta \(DAC\).

Kąt \(DAC\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(DC\), a kąt \(DOC\) jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku. Kąt wpisany ma miarę dwa razy mniejszą:

$$|\sphericalangle DAC|=\frac{1}{2}\cdot|\sphericalangle DOC|=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2017%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_