# Matematyka — zadanie 14

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/14
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\) jest równy zero. Suma jedenastu wyrazów tego ciągu ma wartość:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Ciąg arytmetyczny ma wzór ogólny:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
gdzie \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) to różnica ciągu.

## Krok 1: Wykorzystanie informacji o szóstym wyrazie

Wiemy, że \(a_6 = 0\), więc:
$$a_6 = a_1 + 5r = 0$$

Stąd:
$$a_1 = -5r$$

## Krok 2: Wzór na sumę n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego

Suma \(n\) pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

lub w alternatywnej postaci:
$$S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)r]}{2}$$

## Krok 3: Obliczenie sumy jedenastu wyrazów

Dla \(n = 11\):
$$S_{11} = \frac{11(a_1 + a_{11})}{2}$$

Obliczmy \(a_{11}\):
$$a_{11} = a_1 + 10r = -5r + 10r = 5r$$

Więc:
$$S_{11} = \frac{11(a_1 + a_{11})}{2} = \frac{11(-5r + 5r)}{2} = \frac{11 \cdot 0}{2} = 0$$

## Alternatywne uzasadnienie

Można też zauważyć, że w ciągu arytmetycznym suma wyrazów równoodległych od końców jest stała:
- \(a_1 + a_{11} = 2a_6\) (wyraz środkowy dla 11 wyrazów)

Ponieważ \(a_6 = 0\), to:
$$S_{11} = 11 \cdot a_6 = 11 \cdot 0 = 0$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/14)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F14)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_