# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Ciągi

## Treść

W ciągu geometrycznym, który ma sześć wyrazów, dane są \(a_3=\frac{1}{2}\) i \(a_6=\frac{1}{16}\). Zatem:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Musimy znaleźć wartość \(a_2\) w ciągu geometrycznym, znając \(a_3\) i \(a_6\).

**Krok 1: Przypomnijmy wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego**

W ciągu geometrycznym o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\):
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

**Krok 2: Zapiszmy dane wyrazy**

$$a_3 = a_1 \cdot q^2 = \frac{1}{2}$$
$$a_6 = a_1 \cdot q^5 = \frac{1}{16}$$

**Krok 3: Znajdźmy iloraz \(q\)**

Podzielmy drugie równanie przez pierwsze:
$$\frac{a_6}{a_3} = \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = q^3$$

$$q^3 = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{16} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$$

$$q = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$$

**Krok 4: Znajdźmy pierwszy wyraz \(a_1\)**

Podstawmy \(q = \frac{1}{2}\) do równania \(a_3 = a_1 \cdot q^2\):
$$\frac{1}{2} = a_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

$$\frac{1}{2} = a_1 \cdot \frac{1}{4}$$

$$a_1 = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

**Krok 5: Obliczmy \(a_2\)**

$$a_2 = a_1 \cdot q = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$$

**Sprawdzenie:**
- \(a_1 = 2\)
- \(a_2 = 1\)
- \(a_3 = \frac{1}{2}\) ✓
- \(a_4 = \frac{1}{4}\)
- \(a_5 = \frac{1}{8}\)
- \(a_6 = \frac{1}{16}\) ✓

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_