# Matematyka — zadanie 20

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/20
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Bok trójkąta równobocznego ma długość \(8\) cm. Odległość środka ciężkości tego trójkąta od jego boków jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-20.png]

Oznaczmy bok trójkąta równobocznego jako \(a = 8\) cm.

**Krok 2: Wzór na wysokość trójkąta równobocznego**

Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Dla \(a = 8\):
$$h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Krok 3: Własność środka ciężkości**

Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą środkową (która w trójkącie równobocznym jest jednocześnie wysokością) w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka.

Odległość środka ciężkości od podstawy wynosi:
$$d = \frac{1}{3}h$$

**Krok 4: Obliczenie odległości od boku**

$$d = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

**Krok 5: Sprawdzenie dla wszystkich boków**

Ze względu na symetrię trójkąta równobocznego, środek ciężkości jest równoodległy od wszystkich trzech boków. Każda z tych odległości wynosi \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm.

**Dodatkowa weryfikacja:**

Możemy to sprawdzić inaczej: promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi:
$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{8\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}$$

Środek ciężkości trójkąta równobocznego pokrywa się ze środkiem okręgu wpisanego, więc odległość środka ciężkości od boków równa jest promieniowi okręgu wpisanego.

**Odpowiedź: B**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/20)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F20)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_