# Matematyka — zadanie 22

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/22
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Przekątna sześcianu ma długość \(6\) cm. Objętość tego sześcianu jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-22.png]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez \(a\).

**Krok 2: Znajdźmy zależność między przekątną sześcianu a długością krawędzi**

Przekątna sześcianu to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki (np. od dolnego rogu do górnego rogu po przeciwnej stronie).

Aby ją obliczyć, najpierw znajdujemy przekątną podstawy (kwadratu) korzystając z tw. Pitagorasa:
$$d_{\text{podstawy}} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$$

Następnie przekątna sześcianu tworzy trójkąt prostokątny z:
- przekątną podstawy \(a\sqrt{2}\) (przyprostokątna)
- wysokością sześcianu \(a\) (przyprostokątna)
- przekątną sześcianu \(d\) (przeciwprostokątna)

**Krok 3: Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa**

$$d^2 = (a\sqrt{2})^2 + a^2$$

$$d^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$

$$d = a\sqrt{3}$$

**Krok 4: Obliczmy długość krawędzi**

Wiemy, że \(d = 6\) cm, więc:
$$6 = a\sqrt{3}$$

$$a = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

**Krok 5: Obliczmy objętość sześcianu**

$$V = a^3 = (2\sqrt{3})^3$$

$$V = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot \sqrt{3^3} = 8 \cdot \sqrt{27}$$

$$V = 8 \cdot 3\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/22)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F22)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_