# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

Kąt rozwarcia stożka jest równy \(30^\circ \), a tworząca tego stożka ma długość \(8\) cm. Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-23.png]

## Analiza danych

- Kąt rozwarcia stożka: \(30°\)
- Długość tworzącej: \(l = 8\) cm

**Uwaga:** Kąt rozwarcia stożka to kąt między tworzącymi w przekroju osiowym.

## Przekrój osiowy stożka

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, w którym:
- ramiona to tworzące stożka (obie długości \(l = 8\) cm)
- podstawa to średnica podstawy stożka (długość \(2r\))
- kąt przy wierzchołku stożka to kąt rozwarcia = \(30°\)

## Obliczenie wysokości trójkąta (wysokości stożka)

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę dzieli kąt przy wierzchołku na pół.

Rozpatrzmy połowę przekroju osiowego - trójkąt prostokątny:
- przeciwprostokątna: \(l = 8\) cm (tworząca)
- kąt przy wierzchołku: \(\frac{30°}{2} = 15°\)
- wysokość stożka \(h\) leży naprzeciw kąta \(15°\)

$$h = l \cdot \sin(15°)$$

## Obliczenie podstawy trójkąta (średnicy podstawy)

Promień podstawy:
$$r = l \cdot \sin\left(\frac{30°}{2}\right) = 8 \cdot \sin(15°)$$

Podstawa trójkąta (średnica):
$$d = 2r = 16 \cdot \sin(15°)$$

## Pole przekroju osiowego

Pole trójkąta równoramiennego:

$$P = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16\sin(15°) \cdot 8\sin(15°)$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 128 \cdot \sin^2(15°) = 64\sin^2(15°)$$

Alternatywnie, używając wzoru na pole trójkąta z boków i kąta między nimi:

$$P = \frac{1}{2} \cdot l \cdot l \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 \cdot \sin(30°)$$

$$P = \frac{1}{2} \cdot 64 \cdot \frac{1}{2} = \frac{64}{4} = 16 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_