# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Na trójkącie o bokach długości \(\sqrt{5}, \sqrt{15}, \sqrt{10}\) opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-27.png]

Dla trójkąta o bokach długości \(a = \sqrt{5}\), \(b = \sqrt{15}\), \(c = \sqrt{10}\) oblicza się promień okręgu opisanego.

## Krok 2: Sprawdzenie warunku trójkąta

Najpierw upewniam się, że można zbudować taki trójkąt. Porównuje się kwadraty boków:
- \(a^2 = 5\)
- \(b^2 = 15\)
- \(c^2 = 10\)

Sprawdza się: \(a^2 + c^2 = 5 + 10 = 15 = b^2\)

Zatem trójkąt jest **prostokątny** z kątem prostym przy wierzchołku naprzeciw najdłuższego boku \(b = \sqrt{15}\).

## Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym

W trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego znajduje się w środku przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości przeciwprostokątnej.

Zatem:
$$r = \frac{b}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2}$$

## Krok 4: Weryfikacja (opcjonalnie)

Można też użyć ogólnego wzoru \(r = \frac{abc}{4P}\), gdzie \(P\) to pole trójkąta.

Pole trójkąta prostokątnego:
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{50} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Promień okręgu opisanego:
$$r = \frac{abc}{4P} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{15} \cdot \sqrt{10}}{4 \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{750}}{10\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{30}}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$$

**Odpowiedź:** \(r = \frac{\sqrt{15}}{2}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(r=\frac{\sqrt{15}}{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_