# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Sprawdź, czy punkty \(A=(-2,3)\), \(B=(2,5)\), \(C=(2\sqrt{2},4+\sqrt{2})\) są współliniowe.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

# Sprawdzanie współliniowości punktów

Punkty są współliniowe, gdy leżą na jednej prostej. Sprawdza się to metodą wektorów.

## Metoda wektorowa

Punkty A, B, C są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy wektory \(\vec{AB}\) i \(\vec{AC}\) są równoległe, czyli gdy jeden jest wielokrotnością drugiego.

**Krok 1: Wyznacza się wektor \(\vec{AB}\)**

$$\vec{AB} = [2-(-2), 5-3] = [4, 2]$$

**Krok 2: Wyznacza się wektor \(\vec{AC}\)**

$$\vec{AC} = [2\sqrt{2}-(-2), 4+\sqrt{2}-3] = [2\sqrt{2}+2, 1+\sqrt{2}]$$

**Krok 3: Sprawdza się, czy \(\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}\) dla pewnego \(k \in \mathbb{R}\)**

Jeśli wektory są równoległe, to:
$$[2\sqrt{2}+2, 1+\sqrt{2}] = k \cdot [4, 2]$$

Z pierwszej współrzędnej:
$$2\sqrt{2}+2 = 4k$$
$$k = \frac{2\sqrt{2}+2}{4} = \frac{2(\sqrt{2}+1)}{4} = \frac{\sqrt{2}+1}{2}$$

**Krok 4: Weryfikuję z drugiej współrzędnej**

Dla \(k = \frac{\sqrt{2}+1}{2}\) druga współrzędna powinna wynosić:
$$2k = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{2} = \sqrt{2}+1$$

Rzeczywiście, druga współrzędna wektora \(\vec{AC}\) wynosi \(1+\sqrt{2}\), co zgadza się.

**Wniosek:**

Ponieważ \(\vec{AC} = \frac{\sqrt{2}+1}{2} \cdot \vec{AB}\), wektory są równoległe, a zatem punkty **A, B, C są współliniowe**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Są współliniowe.

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_