# Matematyka — zadanie 29

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/29
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Uzasadnij, że równanie \(x^2+(a-1)x-a=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby uzasadnić, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\), należy pokazać, że wyróżnik \(\Delta \geq 0\) dla każdego \(a \in \mathbb{R}\).

## Krok 1: Identyfikacja współczynników

Równanie kwadratowe \(x^2+(a-1)x-a=0\) ma współczynniki:
- \(A = 1\)
- \(B = a-1\)
- \(C = -a\)

## Krok 2: Obliczenie wyróżnika

Wyróżnik równania kwadratowego wyraża się wzorem \(\Delta = B^2 - 4AC\).

$$\Delta = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a)$$

$$\Delta = (a-1)^2 + 4a$$

## Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia

$$\Delta = a^2 - 2a + 1 + 4a$$

$$\Delta = a^2 + 2a + 1$$

## Krok 4: Zauważenie kwadratu sumy

$$\Delta = (a+1)^2$$

## Krok 5: Analiza znaku wyróżnika

Ponieważ \(\Delta = (a+1)^2\), to:
- \(\Delta \geq 0\) dla każdego \(a \in \mathbb{R}\)
- Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny

## Wniosek

Wyróżnik \(\Delta = (a+1)^2 \geq 0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\), co oznacza, że równanie ma zawsze przynajmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa rozwiązania gdy \(a \neq -1\) lub jedno podwójne gdy \(a = -1\)).

**Równanie \(x^2+(a-1)x-a=0\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej \(a\).**

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/29)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F29)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_