# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa \(1\). Oblicz długość przekątnej tego kwadratu. Wynik zapisz w postaci \(a+b\sqrt{c}\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-operon-listopad-2019-30.png]

Oznaczmy długość boku kwadratu przez \(a\), a długość przekątnej przez \(d\).

**Krok 2: Związek między bokiem a przekątną kwadratu**

Z twierdzenia Pitagorasa dla kwadratu o boku \(a\):
$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$
$$d = a\sqrt{2}$$

**Krok 3: Wykorzystanie warunku zadania**

Z treści zadania wiemy, że:
$$a + d = 1$$

Podstawiamy \(d = a\sqrt{2}\):
$$a + a\sqrt{2} = 1$$
$$a(1 + \sqrt{2}) = 1$$
$$a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}$$

**Krok 4: Wymiernianie mianownika**

Mnożymy licznik i mianownik przez \(1 - \sqrt{2}\):
$$a = \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - 2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{-1} = -1 + \sqrt{2}$$

**Krok 5: Obliczenie długości przekątnej**

$$d = a\sqrt{2} = (-1 + \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}$$
$$d = -\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$$
$$d = -\sqrt{2} + 2$$
$$d = 2 - \sqrt{2}$$

**Krok 6: Zapisanie w postaci \(a + b\sqrt{c}\)**

$$d = 2 + (-1)\sqrt{2}$$

gdzie \(a = 2\), \(b = -1\), \(c = 2\).

**Odpowiedź:** \(2 - \sqrt{2}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(2-\sqrt{2}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 105](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105) — Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_