# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy \(r=-4\). Jeśli pierwszą i drugą liczbę powiększymy o \(3\), a trzecią powiększymy o \(4\), to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz liczby tworzące ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Zapisanie trzech liczb ciągu arytmetycznego

Niech pierwsze trzy liczby ciągu arytmetycznego to \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\).

Ponieważ różnica \(r = -4\), to:
- \(a_1 = a_1\)
- \(a_2 = a_1 + r = a_1 - 4\)
- \(a_3 = a_1 + 2r = a_1 - 8\)

## Krok 2: Zapisanie warunków dla ciągu geometrycznego

Po zwiększeniu liczb otrzymujemy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego:
- \(b_1 = a_1 + 3\)
- \(b_2 = a_2 + 3 = (a_1 - 4) + 3 = a_1 - 1\)
- \(b_3 = a_3 + 4 = (a_1 - 8) + 4 = a_1 - 4\)

## Krok 3: Wykorzystanie własności ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały, czyli:

$$\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}$$

Można też zapisać warunek: \(b_2^2 = b_1 \cdot b_3\)

Podstawiając nasze wyrażenia:

$$(a_1 - 1)^2 = (a_1 + 3)(a_1 - 4)$$

## Krok 4: Rozwiązanie równania

Rozwijamy obie strony:

$$a_1^2 - 2a_1 + 1 = a_1^2 - 4a_1 + 3a_1 - 12$$

$$a_1^2 - 2a_1 + 1 = a_1^2 - a_1 - 12$$

Odejmujemy \(a_1^2\) od obu stron:

$$-2a_1 + 1 = -a_1 - 12$$

$$-2a_1 + a_1 = -12 - 1$$

$$-a_1 = -13$$

$$a_1 = 13$$

## Krok 5: Obliczenie wszystkich liczb

**Ciąg arytmetyczny:**
- \(a_1 = 13\)
- \(a_2 = 13 - 4 = 9\)
- \(a_3 = 13 - 8 = 5\)

**Ciąg geometryczny:**
- \(b_1 = 13 + 3 = 16\)
- \(b_2 = 9 + 3 = 12\)
- \(b_3 = 5 + 4 = 9\)

## Krok 6: Sprawdzenie

Ciąg arytmetyczny \((13, 9, 5)\): różnice \(9-13=-4\), \(5-9=-4\) ✓

Ciąg geometryczny \((16, 12, 9)\): ilorazy \(\frac{12}{16}=\frac{3}{4}\), \(\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\) ✓

**Odpowiedź:** Ciąg arytmetyczny: \((13, 9, 5)\), ciąg geometryczny: \((16, 12, 9)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Ciąg arytmetyczny: \((13, 9, 5)\), ciąg geometryczny \((16, 12, 9)\).

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_