# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą ostrosłupa \(ABCDE\) jest kwadrat, a spodek \(F\) wysokości \(EF\) ostrosłupa jest środkiem krawędzi \(AD\) (patrz rysunek). Ponadto wiadomo, że każda z dwóch dłuższych krawędzi bocznych tego ostrosłupa ma długość \(12\sqrt{5}\) cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60^\circ \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy bok kwadratu jako \(a\) i ustalmy układ współrzędnych.

## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych

Umieśćmy kwadrat \(ABCD\) w płaszczyźnie \(xy\) tak, że:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(D = (a, 0, 0)\)
- \(B = (0, a, 0)\)
- \(C = (a, a, 0)\)

Punkt \(F\) (środek \(AD\)) ma współrzędne:
$$F = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$$

Wierzchołek \(E\) leży na wysokości nad punktem \(F\):
$$E = \left(\frac{a}{2}, 0, h\right)$$

gdzie \(h\) to wysokość ostrosłupa.

## Krok 2: Identyfikacja dłuższych krawędzi bocznych

Obliczmy długości krawędzi bocznych:

$$|EA| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}$$

$$|ED| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + h^2}$$

$$|EB| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}$$

$$|EC| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2}$$

Dłuższe krawędzie to \(EB\) i \(EC\), więc:
$$|EB| = |EC| = 12\sqrt{5}$$

## Krok 3: Wyznaczenie kąta nachylenia

Kąt nachylenia krawędzi \(EB\) do płaszczyzny podstawy to kąt \(\angle EBF'\), gdzie \(F'\) jest rzutem \(E\) na podstawę, czyli \(F' = F = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)\).

Rzut krawędzi \(EB\) na podstawę to odcinek \(F'B\):
$$|F'B| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$

Z warunku kąta nachylenia \(60°\):
$$\tan(60°) = \frac{h}{|F'B|} = \frac{h}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}$$

$$\sqrt{3} = \frac{2h}{a\sqrt{5}}$$

$$h = \frac{a\sqrt{15}}{2}$$

## Krok 4: Wyznaczenie boku kwadratu

Z warunku \(|EB| = 12\sqrt{5}\):
$$\sqrt{\frac{5a^2}{4} + h^2} = 12\sqrt{5}$$

Podstawiając \(h = \frac{a\sqrt{15}}{2}\):
$$\sqrt{\frac{5a^2}{4} + \frac{15a^2}{4}} = 12\sqrt{5}$$

$$\sqrt{\frac{20a^2}{4}} = 12\sqrt{5}$$

$$\sqrt{5a^2} = 12\sqrt{5}$$

$$a\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$$

$$a = 12$$

## Krok 5: Obliczenie wysokości

$$h = \frac{a\sqrt{15}}{2} = \frac{12\sqrt{15}}{2} = 6\sqrt{15}$$

## Krok 6: Obliczenie objętości

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{podstawy} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h$$

$$V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6\sqrt{15} = \frac{864\sqrt{15}}{3} = 288\sqrt{15} \text{ cm}^3$$

**Odpowiedź:** \(288\sqrt{15}\) cm³

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(288\sqrt{15}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_