# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Liczby rzeczywiste

## Treść

W gospodarstwie ogrodniczym zapakowano \(480\) róż do pewnej liczby kartonów. Gdyby jednak do każdego kartonu włożono o \(3\) róże mniej, to do zapakowania tej samej ilości róż należałoby użyć o \(8\) kartonów więcej. Do ilu kartonów zapakowano pierwotnie róże i ile róż było w każdym kartonie?

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy zmienne:
- \(x\) – początkowa liczba kartonów
- \(y\) – początkowa liczba róż w jednym kartonie

## Krok 1: Zapisanie pierwszego warunku

Zapakowano 480 róż do \(x\) kartonów, więc:
$$x \cdot y = 480$$

## Krok 2: Zapisanie drugiego warunku

Gdyby do każdego kartonu włożono o 3 róże mniej (czyli \(y - 3\) róż), to potrzeba by \(x + 8\) kartonów:
$$(x + 8)(y - 3) = 480$$

## Krok 3: Przekształcenie drugiego równania

Rozwijamy iloczyn:
$$xy - 3x + 8y - 24 = 480$$

Ponieważ \(xy = 480\), podstawiamy:
$$480 - 3x + 8y - 24 = 480$$

$$-3x + 8y - 24 = 0$$

$$8y = 3x + 24$$

$$y = \frac{3x + 24}{8}$$

## Krok 4: Podstawienie do pierwszego równania

Z równania \(xy = 480\) mamy:
$$x \cdot \frac{3x + 24}{8} = 480$$

$$x(3x + 24) = 3840$$

$$3x^2 + 24x = 3840$$

$$3x^2 + 24x - 3840 = 0$$

Dzielimy przez 3:
$$x^2 + 8x - 1280 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego

Używamy wzoru na deltę:
$$\Delta = 64 - 4 \cdot 1 \cdot (-1280) = 64 + 5120 = 5184$$

$$\sqrt{\Delta} = 72$$

$$x = \frac{-8 \pm 72}{2}$$

Ponieważ \(x > 0\):
$$x = \frac{-8 + 72}{2} = \frac{64}{2} = 32$$

## Krok 6: Obliczenie liczby róż w kartonie

$$y = \frac{480}{32} = 15$$

## Krok 7: Sprawdzenie

- Pierwotnie: \(32\) kartony po \(15\) róż = \(480\) róż ✓
- Po zmianie: \(40\) kartonów po \(12\) róż = \(480\) róż ✓

**Odpowiedź:** Pierwotnie zapakowano róże do **32 kartonów**, w każdym było po **15 róż**.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(15\) róż w kartonie i \(32\) kartony

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (7 pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że 3 3 7 2 5 7 2 5 jest liczbą całkowitą. 10 Arkusz II Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że na
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-listopad-probna-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (6 pkt) Dane są zbiory: { } : 5 3 A x R x ∈ ≥ , { } 2 : 9 0 B x R x ∈ ≥ i 1 : 1 1 x C x R x ⎧ ⎫ ∈ ≤ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ a) Zaznacz na osi liczbowej zbiory B A, 
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-luty-2014/zad/34) — Wykwalifikowany robotnik pracując sam, wykonałby pracę w czasie krótszym o \(10\) dni od pracownika niewykwalifikowanego. Aby pracę wykonać szybciej, powierzono
- [Zadanie 33](https://matura.lol/question/matematyka-2013-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33) — Zadanie 33. (5 pkt) Grupa znajomych wykupiła wspólnie dostęp do Internetu na okres jednego roku. Opłata miesięczna wynosiła 120 złotych. Podzielono tę kwotę na 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_