# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · listopad 2019 (podstawowa)
- rok: 2019
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

W trójkącie równoramiennym \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\) poprowadzono dwusieczne kątów \(ABC\) i \(ACB\). Dwusieczne te przecięły się w punkcie \(O\) (patrz rysunek). Jeśli \(|\sphericalangle BAC|=70^\circ \), to miara kąta \(\alpha \) jest równa:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Wyznaczenie kątów przy podstawie trójkąta

W trójkącie równoramiennym \(ABC\) mamy \(|AC|=|BC|\), więc kąty przy podstawie \(AB\) są równe:
$$|\angle CAB| = |\angle CBA| = 70°$$

## Krok 2: Wyznaczenie kąta przy wierzchołku

Suma kątów w trójkącie wynosi \(180°\), zatem:
$$|\angle ACB| = 180° - 70° - 70° = 40°$$

## Krok 3: Wyznaczenie kątów utworzonych przez dwusieczne

Dwusieczna kąta \(ABC\) dzieli go na dwa równe kąty:
$$|\angle ABO| = |\angle OBC| = \frac{70°}{2} = 35°$$

Dwusieczna kąta \(ACB\) dzieli go na dwa równe kąty:
$$|\angle ACO| = |\angle OCB| = \frac{40°}{2} = 20°$$

## Krok 4: Wyznaczenie kąta \(\alpha\) w trójkącie \(OBC\)

Kąt \(\alpha\) to kąt \(BOC\). Rozpatrujemy trójkąt \(OBC\), w którym:
- \(|\angle OBC| = 35°\)
- \(|\angle OCB| = 20°\)

Z sumy kątów w trójkącie \(OBC\):
$$\alpha = |\angle BOC| = 180° - 35° - 20° = 125°$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-operon-listopad-2019%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_