# Matematyka — zadanie 12

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/12
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Wyrażenia algebraiczne

## Treść

Suma odwrotności pierwiastków wielomianu \(W(x)=4x^3-x^2-4x+1\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szuka się sumy odwrotności pierwiastków wielomianu \(W(x) = 4x^3 - x^2 - 4x + 1\).

**Krok 1: Oznaczenie pierwiastków**

Niech \(x_1, x_2, x_3\) to pierwiastki tego wielomianu. Szuka się:
$$S = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}$$

**Krok 2: Przekształcenie sumy**

Sprowadza się do wspólnego mianownika:
$$S = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = \frac{x_2x_3 + x_1x_3 + x_1x_2}{x_1x_2x_3}$$

**Krok 3: Zastosowanie wzorów Viète'a**

Dla wielomianu \(W(x) = 4x^3 - x^2 - 4x + 1\) (postać: \(ax^3 + bx^2 + cx + d\), gdzie \(a=4, b=-1, c=-4, d=1\)):

- \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{4} = \frac{1}{4}\)

- \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-4}{4} = -1\)

- \(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a} = -\frac{1}{4}\)

**Krok 4: Obliczenie sumy odwrotności**

Podstawia się do wzoru:
$$S = \frac{x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3}{x_1x_2x_3} = \frac{-1}{-\frac{1}{4}} = \frac{-1 \cdot 4}{-1} = 4$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/12)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F12)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (6 pkt) Dany jest wielomian ( ) 3 2 2 9 18 W x x x x a) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. b) Sprawdź, czy wielomiany ( ) W x i ( ) ( )( ) ( )( ) 2
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (5 pkt) Wielomian określony wzorem ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 11 2 2 1 W x x m x x m jest podzielny przez dwumian ( ) 2 x - oraz przy dzieleniu przez dwum
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Dany jest wielomian ( ) 3 2 2 13 W x x ax x b + . Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu ( ) W x 
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (5 pkt) Dane są wielomiany OQ(x)=x* - x? +2 i S(x)=-2x7 -2x+4. a. Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x). b. Wielomian P(x) jest s

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_