# Matematyka — zadanie 16

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/16
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Wyrażenie \( \frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }} \), gdzie \(\alpha \) jest kątem ostrym, można zapisać w postaci

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Przekształca się wyrażenie $\frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }}$ krok po kroku.

## Krok 1: Zastosowanie jedynki trygonometrycznej

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:
$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Zatem:
$$1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$$

## Krok 2: Uproszczenie mianownika

Przypomnijmy, że $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, więc:
$$\operatorname{tg}^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$

Zatem:
$$\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{1}{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$$

## Krok 3: Podstawienie do wyrażenia

Podstawia się przekształcone wyrażenia:
$$\frac{1-\sin^{2} \alpha }{\frac{1}{\operatorname{tg}^2\alpha }} = \frac{\cos^2\alpha}{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}$$

## Krok 4: Dzielenie przez ułamek

Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność:
$$\frac{\cos^2\alpha}{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$

## Krok 5: Skracanie

Wyrazy $\cos^2\alpha$ w liczniku i mianowniku się skracają:
$$\cos^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \sin^2\alpha$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/16)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F16)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_