# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Proste \(DE\) i \(CB\) oraz \(EF\) i \(AC\) są równoległe. Oblicz długość odcinka \(EB\), jeżeli \(AE = 2{,}5\) , \(DE = 3\) oraz \(FB=4\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Mamy trapez lub układ odcinków z równoległymi bokami.

**Analiza danych:**
- \(DE \parallel CB\)
- \(EF \parallel AC\)
- \(AE = 2{,}5\)
- \(DE = 3\)
- \(FB = 4\)
- Szukamy: \(|EB|\)

**Krok 1: Ustalenie konfiguracji**

Ponieważ \(EF \parallel AC\), to z twierdzenia Talesa dla trójkąta \(ABC\) (gdzie \(E\) leży na \(AB\), a \(F\) na \(BC\)) mamy:

$$\frac{AE}{EB} = \frac{AF}{FC}$$

**Krok 2: Wykorzystanie warunku \(DE \parallel CB\)**

Ponieważ \(DE \parallel CB\), punkt \(D\) leży na \(AC\), a \(E\) na \(AB\), więc z twierdzenia Talesa dla trójkąta \(ABC\):

$$\frac{AD}{DC} = \frac{AE}{EB}$$

oraz

$$\frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB}$$

**Krok 3: Analiza punktu \(F\)**

Skoro \(EF \parallel AC\), to \(F\) leży na \(BC\) i:

$$\frac{EF}{AC} = \frac{BE}{BA}$$

**Krok 4: Wykorzystanie długości \(DE = 3\) i \(FB = 4\)**

Z podobieństwa trójkątów \(ADE\) i \(ABC\) (bo \(DE \parallel CB\)):

$$\frac{DE}{CB} = \frac{AE}{AB} = \frac{AE}{AE + EB} = \frac{2{,}5}{2{,}5 + EB}$$

Z podobieństwa trójkątów \(BEF\) i \(BAC\) (bo \(EF \parallel AC\)):

$$\frac{EF}{AC} = \frac{BF}{BC} = \frac{BE}{BA}$$

oraz

$$\frac{BF}{BC} = \frac{BE}{BA}$$

$$\frac{4}{BC} = \frac{EB}{2{,}5 + EB}$$

**Krok 5: Połączenie warunków**

Z warunku \(DE \parallel CB\):
$$\frac{DE}{CB} = \frac{2{,}5}{2{,}5 + EB}$$

$$CB = \frac{3(2{,}5 + EB)}{2{,}5} = \frac{3 \cdot 2{,}5 + 3 \cdot EB}{2{,}5} = 3 + \frac{3 \cdot EB}{2{,}5}$$

Z warunku \(EF \parallel AC\):
$$BC = \frac{4(2{,}5 + EB)}{EB} = \frac{10 + 4 \cdot EB}{EB}$$

**Krok 6: Przyrównanie wyrażeń na \(BC\)**

$$3 + \frac{3 \cdot EB}{2{,}5} = \frac{10 + 4 \cdot EB}{EB}$$

$$3 + \frac{6 \cdot EB}{5} = \frac{10}{EB} + 4$$

$$\frac{6 \cdot EB}{5} = \frac{10}{EB} + 1$$

$$\frac{6 \cdot EB^2}{5} = 10 + EB$$

$$6 \cdot EB^2 = 50 + 5 \cdot EB$$

$$6 \cdot EB^2 - 5 \cdot EB - 50 = 0$$

**Krok 7: Rozwiązanie równania kwadratowego**

$$EB = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 1200}}{12} = \frac{5 \pm \sqrt{1225}}{12} = \frac{5 \pm 35}{12}$$

Przyjmując rozwiązanie dodatnie:

$$EB = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$$

**Odpowiedź:** \(|EB| = \frac{10}{3}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(|EB|=\frac{10}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_