# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Oblicz wartość wyrażenia \(\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha \), jeżeli \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\) i \(\alpha \) jest kątem ostrym.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Dane: \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) oraz \(\alpha\) jest kątem ostrym.

**Krok 1: Wyznaczenie \(\cos \alpha\)**

Z jedynki trygonometrycznej:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Podstawiamy:
$$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\frac{3}{4} + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, to \(\cos \alpha > 0\), więc:
$$\cos \alpha = \frac{1}{2}$$

**Krok 2: Wyznaczenie \(\operatorname{tg} \alpha\)**

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$$

**Krok 3: Obliczenie \(\operatorname{tg}^2 \alpha\)**

$$\operatorname{tg}^2 \alpha = (\sqrt{3})^2 = 3$$

**Krok 4: Obliczenie wartości wyrażenia**

$$\operatorname{tg}^2 \alpha - 3\cos^2 \alpha = 3 - 3 \cdot \frac{1}{4} = 3 - \frac{3}{4} = \frac{12}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4}$$

**Odpowiedź:** \(2\frac{1}{4}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(2\frac{1}{4}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_