# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Uzasadnij, że równanie \(x^2+(b-2)x-2b=0\) dla dowolnej liczby rzeczywistej \(b\) ma przynajmniej jedno rozwiązanie.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Aby uzasadnić, że równanie ma przynajmniej jedno rozwiązanie dla dowolnej liczby rzeczywistej \(b\), wystarczy pokazać, że wyróżnik tego równania jest nieujemny dla każdego \(b \in \mathbb{R}\).

**Krok 1: Identyfikacja współczynników**

Równanie kwadratowe ma postać \(ax^2 + bx + c = 0\). W naszym przypadku:
- \(a = 1\)
- współczynnik przy \(x\): \(b-2\)
- wyraz wolny: \(-2b\)

**Krok 2: Obliczenie wyróżnika**

Wyróżnik dla równania kwadratowego to \(\Delta = B^2 - 4AC\), gdzie \(B\) to współczynnik przy \(x\), a \(C\) to wyraz wolny.

$$\Delta = (b-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2b)$$

$$\Delta = (b-2)^2 + 8b$$

**Krok 3: Rozwinięcie wyrażenia**

$$\Delta = b^2 - 4b + 4 + 8b$$

$$\Delta = b^2 + 4b + 4$$

**Krok 4: Rozpoznanie kwadratu sumy**

Zauważamy, że:

$$\Delta = (b+2)^2$$

**Krok 5: Wnioskowanie**

Ponieważ \((b+2)^2 \geq 0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(b\), mamy \(\Delta \geq 0\) dla każdego \(b \in \mathbb{R}\).

**Wniosek:**

Wyróżnik równania jest nieujemny dla dowolnej wartości \(b\), co oznacza, że równanie ma zawsze co najmniej jedno rozwiązanie rzeczywiste (dwa rozwiązania gdy \(\Delta > 0\), czyli \(b \neq -2\), lub jedno podwójne gdy \(\Delta = 0\), czyli \(b = -2\)).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_