# Matematyka — zadanie 27

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/27
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Wykaż, że wysokość \(CD\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) poprowadzona z wierzchołka \(C\) kąta prostego dzieli przeciwprostokątną na odcinki \(AD\) i \(DB\), których stosunek długości jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych odpowiednio \(AC\) i \(BC\) tego trójkąta.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-27.png]

Rozważamy trójkąt prostokątny \(ABC\) z kątem prostym przy wierzchołku \(C\). Wysokość \(CD\) opuszczona z wierzchołka \(C\) na przeciwprostokątną \(AB\) dzieli ją na odcinki \(AD\) i \(DB\).

**Krok 2: Identyfikacja trójkątów podobnych**

Wysokość w trójkącie prostokątnym opuszczona na przeciwprostokątną tworzy dwa trójkąty podobne do trójkąta wyjściowego:
- \(\triangle ACD \sim \triangle ABC\)
- \(\triangle BCD \sim \triangle BAC\)

**Krok 3: Podobieństwo \(\triangle ACD \sim \triangle CAB\)**

Z podobieństwa \(\triangle ACD \sim \triangle CAB\) mamy:
$$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$$

Stąd:
$$AD = \frac{AC^2}{AB}$$

**Krok 4: Podobieństwo \(\triangle BCD \sim \triangle CBA\)**

Z podobieństwa \(\triangle BCD \sim \triangle CBA\) mamy:
$$\frac{BD}{BC} = \frac{BC}{BA}$$

Stąd:
$$BD = \frac{BC^2}{AB}$$

**Krok 5: Obliczenie stosunku \(\frac{AD}{DB}\)**

Dzieląc stronami równania z kroków 2 i 3:
$$\frac{AD}{BD} = \frac{\frac{AC^2}{AB}}{\frac{BC^2}{AB}} = \frac{AC^2}{AB} \cdot \frac{AB}{BC^2} = \frac{AC^2}{BC^2}$$

**Wniosek:**

Wykazaliśmy, że:
$$\frac{AD}{DB} = \frac{AC^2}{BC^2}$$

co oznacza, że stosunek długości odcinków \(AD\) i \(DB\) jest równy stosunkowi kwadratów długości przyprostokątnych \(AC\) i \(BC\).

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/27)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F27)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_