# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Ciągi

## Treść

O pewnym ciągu arytmetycznym wiadomo, że ma dziesięć wyrazów. Suma jego wyrazów o numerach nieparzystych jest równa \(75\), a suma wyrazów o numerach parzystych jest równa \(90\). Wyznacz pierwszy wyraz tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez \(a_1\), a różnicę ciągu przez \(r\).

**Krok 1: Wypisanie wyrazów ciągu**

Ciąg ma 10 wyrazów:
- Wyrazy o numerach nieparzystych: \(a_1, a_3, a_5, a_7, a_9\)
- Wyrazy o numerach parzystych: \(a_2, a_4, a_6, a_8, a_{10}\)

**Krok 2: Wyrażenie wyrazów przez \(a_1\) i \(r\)**

Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_n = a_1 + (n-1)r\):

Wyrazy nieparzyste:
- \(a_1 = a_1\)
- \(a_3 = a_1 + 2r\)
- \(a_5 = a_1 + 4r\)
- \(a_7 = a_1 + 6r\)
- \(a_9 = a_1 + 8r\)

Wyrazy parzyste:
- \(a_2 = a_1 + r\)
- \(a_4 = a_1 + 3r\)
- \(a_6 = a_1 + 5r\)
- \(a_8 = a_1 + 7r\)
- \(a_{10} = a_1 + 9r\)

**Krok 3: Zapisanie sum**

Suma wyrazów nieparzystych:
$$a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 = a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) + (a_1 + 6r) + (a_1 + 8r)$$
$$= 5a_1 + 20r = 75$$

Suma wyrazów parzystych:
$$a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} = (a_1 + r) + (a_1 + 3r) + (a_1 + 5r) + (a_1 + 7r) + (a_1 + 9r)$$
$$= 5a_1 + 25r = 90$$

**Krok 4: Układ równań**

Otrzymujemy układ:
$$\begin{cases}
5a_1 + 20r = 75 \\
5a_1 + 25r = 90
\end{cases}$$

**Krok 5: Rozwiązanie układu**

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego:
$$(5a_1 + 25r) - (5a_1 + 20r) = 90 - 75$$
$$5r = 15$$
$$r = 3$$

Podstawiamy \(r = 3\) do pierwszego równania:
$$5a_1 + 20 \cdot 3 = 75$$
$$5a_1 + 60 = 75$$
$$5a_1 = 15$$
$$a_1 = 3$$

**Odpowiedź:** Pierwszy wyraz ciągu wynosi \(a_1 = 3\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_1=3\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_