# Matematyka — zadanie 30

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/30
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 6
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Wyznacz współrzędne punktu \(A'\), który jest symetryczny do punktu \(A = (3, 2)\) względem prostej \(y=-\frac{1}{3}x-6\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Szukamy punktu \(A' = (x', y')\) symetrycznego do \(A = (3, 2)\) względem prostej \(l: y = -\frac{1}{3}x - 6\).

## Krok 1: Znajdź prostą prostopadłą przechodzącą przez punkt A

Prosta \(l\) ma współczynnik kierunkowy \(a_l = -\frac{1}{3}\).

Prosta prostopadła \(p\) ma współczynnik kierunkowy:
$$a_p = -\frac{1}{a_l} = -\frac{1}{-\frac{1}{3}} = 3$$

Prosta \(p\) przechodzi przez \(A = (3, 2)\):
$$y - 2 = 3(x - 3)$$
$$y = 3x - 9 + 2$$
$$y = 3x - 7$$

## Krok 2: Znajdź punkt przecięcia prostych l i p

Punkt przecięcia \(S\) (środek odcinka \(AA'\)):
$$3x - 7 = -\frac{1}{3}x - 6$$
$$3x + \frac{1}{3}x = -6 + 7$$
$$\frac{9x + x}{3} = 1$$
$$10x = 3$$
$$x_S = \frac{3}{10}$$

Podstawiamy do równania prostej \(p\):
$$y_S = 3 \cdot \frac{3}{10} - 7 = \frac{9}{10} - 7 = \frac{9 - 70}{10} = -\frac{61}{10}$$

Zatem \(S = \left(\frac{3}{10}, -\frac{61}{10}\right)\).

## Krok 3: Wyznacz współrzędne punktu A'

Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(AA'\), więc:
$$S = \frac{A + A'}{2}$$

Dla współrzędnej x:
$$\frac{3}{10} = \frac{3 + x'}{2}$$
$$\frac{3}{5} = 3 + x'$$
$$x' = \frac{3}{5} - 3 = \frac{3 - 15}{5} = -\frac{12}{5}$$

Dla współrzędnej y:
$$-\frac{61}{10} = \frac{2 + y'}{2}$$
$$-\frac{61}{5} = 2 + y'$$
$$y' = -\frac{61}{5} - 2 = \frac{-61 - 10}{5} = -\frac{71}{5}$$

## Odpowiedź

$$A' = \left(-\frac{12}{5}, -\frac{71}{5}\right) = \left(-2\frac{2}{5}, -14\frac{1}{5}\right) = \left(-2{,}4, -14{,}2\right)$$

W zapisie dziesiętnym: \(A' = (-2{,}4; -14{,}2)\) lub \(A' = \left(-2\frac{4}{10}; -14\frac{2}{10}\right)\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(B=\left(-2\frac{4}{10};\ -14\frac{2}{10}\right)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/30)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F30)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_