# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Stereometria

## Treść

Krawędź sześcianu jest o \(4\) krótsza od jego przekątnej. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego sześcianu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-31.png]

Oznaczmy długość krawędzi sześcianu przez \(a\).

**Krok 2: Wyznaczenie długości przekątnej sześcianu**

Przekątna sześcianu (przekątna przestrzenna) łączy dwa przeciwległe wierzchołki i przechodzi przez wnętrze bryły.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa w przestrzeni trójwymiarowej, długość przekątnej sześcianu o krawędzi \(a\) wynosi:

$$d = a\sqrt{3}$$

**Krok 3: Zapisanie warunku z treści zadania**

Według treści zadania, krawędź jest o 4 krótsza od przekątnej:

$$d - a = 4$$

Podstawiamy wzór na przekątną:

$$a\sqrt{3} - a = 4$$

**Krok 4: Rozwiązanie równania**

Wyłączamy \(a\) przed nawias:

$$a(\sqrt{3} - 1) = 4$$

$$a = \frac{4}{\sqrt{3} - 1}$$

Mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone \(\sqrt{3} + 1\):

$$a = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{2}$$

$$a = 2(\sqrt{3} + 1) = 2\sqrt{3} + 2$$

**Krok 5: Obliczenie pola powierzchni całkowitej**

Sześcian ma 6 ścian, każda o polu \(a^2\), zatem:

$$P_c = 6a^2$$

Obliczamy \(a^2\):

$$a^2 = (2\sqrt{3} + 2)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 + 2^2$$

$$a^2 = 12 + 8\sqrt{3} + 4 = 16 + 8\sqrt{3}$$

Zatem pole powierzchni całkowitej:

$$P_c = 6(16 + 8\sqrt{3}) = 96 + 48\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(P_c = 96 + 48\sqrt{3}\)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(P_c=96+48\sqrt{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_