# Matematyka — zadanie 7

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/7
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości \(9\) jest równe

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2013-07.png]

Wyznacza się pole koła opisanego na trójkącie równobocznym o wysokości 9.

**Krok 2: Związek między wysokością a bokiem trójkąta równobocznego**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\), wysokość wynosi:
$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Mamy \(h = 9\), zatem:
$$9 = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

$$a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

**Krok 3: Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym**

Dla trójkąta równobocznego o boku \(a\), promień okręgu opisanego wynosi:
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$

Alternatywnie można użyć faktu, że środek okręgu opisanego dzieli wysokość w stosunku 2:1 od wierzchołka, więc:
$$R = \frac{2}{3}h$$

Podstawiając \(h = 9\):
$$R = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$$

**Krok 4: Pole koła opisanego**

Pole koła o promieniu \(R = 6\):
$$P = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$$

**Odpowiedź: A**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** A

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/7)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F7)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_