# Matematyka — zadanie 9

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/9
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Proste \(y=-3x+4\) i \(y=\left ( \frac{1}{3}a^2-\frac{4}{3} \right )x\) są prostopadłe, jeżeli

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Dwie proste są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\).

## Krok 1: Odczytanie współczynników kierunkowych

Z równań prostych odczytujemy współczynniki kierunkowe:
- Pierwsza prosta: \(y = -3x + 4\), więc \(m_1 = -3\)
- Druga prosta: \(y = \left(\frac{1}{3}a^2 - \frac{4}{3}\right)x\), więc \(m_2 = \frac{1}{3}a^2 - \frac{4}{3}\)

## Krok 2: Warunek prostopadłości

Proste są prostopadłe, gdy:
$$m_1 \cdot m_2 = -1$$

Podstawiamy:
$$(-3) \cdot \left(\frac{1}{3}a^2 - \frac{4}{3}\right) = -1$$

## Krok 3: Rozwiązanie równania

Mnożymy lewą stronę:
$$-3 \cdot \frac{1}{3}a^2 + 3 \cdot \frac{4}{3} = -1$$

$$-a^2 + 4 = -1$$

Przenosimy wyrazy:
$$-a^2 = -1 - 4$$

$$-a^2 = -5$$

$$a^2 = 5$$

## Krok 4: Wyznaczenie wartości \(a\)

Z równania \(a^2 = 5\) otrzymujemy:
$$a = -\sqrt{5} \quad \text{lub} \quad a = \sqrt{5}$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013/zad/9)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2013%2Fzad%2F9)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_