# Matematyka — zadanie 1

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/1
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Dane są liczby \( x=2+\sqrt{5}\) i \(\ y=3-\sqrt{5} \). Iloraz \( \frac{x}{y} \) można zapisać w postaci:

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Mamy dane:
- \(x = 2 + \sqrt{5}\)
- \(y = 3 - \sqrt{5}\)

Obliczamy iloraz \(\frac{x}{y}\):

$$\frac{x}{y} = \frac{2 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}}$$

Aby pozbyć się niewymierności z mianownika, mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone do mianownika, czyli przez \(3 + \sqrt{5}\):

$$\frac{x}{y} = \frac{2 + \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} \cdot \frac{3 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}$$

Obliczamy licznik:
$$(2 + \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 3 + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$$
$$= 6 + 2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5 = 11 + 5\sqrt{5}$$

Obliczamy mianownik (wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)):
$$(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5}) = 3^2 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$$

Zatem:
$$\frac{x}{y} = \frac{11 + 5\sqrt{5}}{4}$$

Rozdzielamy na dwa ułamki:
$$\frac{x}{y} = \frac{11}{4} + \frac{5\sqrt{5}}{4} = \frac{11}{4} + \frac{5}{4}\sqrt{5}$$

**Odpowiedź: D**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** D

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/1)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F1)

## Podobne zadania

- [Zadanie 105](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105) — Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_