# Matematyka — zadanie 15

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/15
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

W trapezie prostokątnym kąt ostry ma miarę \( 60^\circ \), a podstawy mają długość \(6\) i \(9\). Wysokość tego trapezu jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-15.png]

Oznaczmy trapez prostokątny ABCD, gdzie:
- AB i CD to podstawy (AB = 6, CD = 9)
- Kąty przy podstawie AD są proste (90°)
- Kąt przy podstawie BC wynosi 60°

**Krok 2: Szkic sytuacji**

W trapezie prostokątnym dwa kąty są proste. Przyjmijmy, że:
- Podstawa dolna CD = 9
- Podstawa górna AB = 6
- Boki AD i BC nie są równoległe
- Kąty przy wierzchołkach A i D są proste
- Kąt przy wierzchołku C wynosi 60°

**Krok 3: Opuszczenie pomocniczej wysokości**

Z punktu B opuszczamy wysokość na podstawę CD. Niech ta wysokość ma długość \(h\).

Ponieważ ABCD jest trapezem prostokątnym z kątami prostymi przy A i D, to:
- AD ⊥ CD i AD ⊥ AB
- Wysokość trapezu to właśnie \(h = AD\)

**Krok 4: Analiza trójkąta pomocniczego**

Przeciągając bok AB do punktu na podstawie CD, otrzymujemy prostokąt i trójkąt prostokątny.

Różnica podstaw: \(9 - 6 = 3\)

Ta różnica tworzy przyprostokątną trójkąta prostokątnego, w którym:
- Kąt przy podstawie wynosi 60°
- Jedna przyprostokątna (przy kącie prostym) = 3
- Druga przyprostokątna to wysokość \(h\)

**Krok 5: Wykorzystanie trygonometrii**

W trójkącie prostokątnym przy wierzchołku C:
- Kąt przy C = 60°
- Przyprostokątna pozioma = 3
- Przyprostokątna pionowa = \(h\)

Mamy:
$$\tan(60°) = \frac{h}{3}$$

**Krok 6: Obliczenie wysokości**

$$\tan(60°) = \sqrt{3}$$

Zatem:
$$\sqrt{3} = \frac{h}{3}$$

$$h = 3\sqrt{3}$$

**Odpowiedź: C**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/15)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F15)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_