# Matematyka — zadanie 21

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/21
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Równania i nierówności

## Treść

Wyznacz wszystkie liczby naturalne spełniające nierówność \( x^2-x-12\leqslant 0 \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Rozwiązuje się nierówność kwadratową \(x^2 - x - 12 \leq 0\).

## Krok 1: Wyznacza się miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2 - x - 12\)

Rozwiązuje się równanie \(x^2 - x - 12 = 0\).

Oblicza się wyróżnik:
$$\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Miejsca zerowe:
$$x_1 = \frac{1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

$$x_2 = \frac{1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

## Krok 2: Analizuje się znak funkcji kwadratowej

Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a = 1 > 0\), więc parabola jest skierowana ramionami do góry.

Funkcja kwadratowa przyjmuje wartości:
- ujemne lub równe zero dla \(x \in [-3, 4]\)
- dodatnie dla \(x \in (-\infty, -3) \cup (4, +\infty)\)

## Krok 3: Rozwiązanie nierówności w liczbach rzeczywistych

Nierówność \(x^2 - x - 12 \leq 0\) jest spełniona dla:
$$x \in [-3, 4]$$

## Krok 4: Wybiera się liczby naturalne z przedziału \([-3, 4]\)

**Jeśli \(0 \notin \mathbb{N}\)** (tradycyjne podejście):
$$x \in \{1, 2, 3, 4\}$$

**Jeśli \(0 \in \mathbb{N}\)** (konwencja współczesna):
$$x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$$

## Weryfikacja (dla pewności):
- \(x = 1\): \(1 - 1 - 12 = -12 \leq 0\) ✓
- \(x = 4\): \(16 - 4 - 12 = 0 \leq 0\) ✓
- \(x = 5\): \(25 - 5 - 12 = 8 > 0\) ✗

**Odpowiedź:** \(x \in \{1, 2, 3, 4\}\) lub \(x \in \{0, 1, 2, 3, 4\}\) w zależności od przyjętej konwencji

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(x\in \{1,2,3,4\} \) lub ewentualnie \(x\in \{0,1,2,3,4\} \) jeżeli \(0\) uznajemy za liczbę naturalną.

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/21)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F21)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) Dane jest równanie: ( ) 0 4 1 5 2 2 m m x m x Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do 
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (10 pkt) Rozwiąż nierówność ( ) 9 ,0 2 8 1 4 1 2 1 > x x x x , gdzie lewa strona tej nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego. 9 Ar
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/9) — Dane są zbiory liczb rzeczywistych: \(A = \left\{ x : \frac{3}{x} \leq 1 \right\}\) i \(B = \left\{ x : |x+1| < 3 \right\}\). a) Zaznacz te zbiory na osi liczbo
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝒎, dla których równanie (𝟑-𝒎) ⋅𝒙𝟐+ (𝒎+ 𝟏) ⋅𝒙-(𝒎+ 𝟏)𝟐= 𝟎 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 speł

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_