# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Potęgi i pierwiastki

## Treść

Uzasadnij, że \( \sqrt{5}+\sqrt{3}=\sqrt{8+2\sqrt{15}} \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Zostanie wykazane, że obie strony równania są równe, podnosząc lewą stronę do kwadratu.

**Krok 1:** Podnosi się lewą stronę do kwadratu

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$$

**Krok 2:** Oblicza się poszczególne składniki

$$(\sqrt{5})^2 = 5$$

$$(\sqrt{3})^2 = 3$$

$$2\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{3} = 2\sqrt{15}$$

**Krok 3:** Podstawia się wyniki

$$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$$

**Krok 4:** Podnosi się prawą stronę równania do kwadratu

$$\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\right)^2 = 8 + 2\sqrt{15}$$

**Wniosek:**

Otrzymano:
- \((\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)
- \(\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\right)^2 = 8 + 2\sqrt{15}\)

Obie strony podniesione do kwadratu dają ten sam wynik. Ponieważ obie liczby \(\sqrt{5}+\sqrt{3}\) i \(\sqrt{8+2\sqrt{15}}\) są dodatnie (jako sumy/pierwiastki z liczb dodatnich), to z równości kwadratów wynika równość samych liczb.

Zatem \(\sqrt{5}+\sqrt{3}=\sqrt{8+2\sqrt{15}}\). ∎

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 105](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-pp-treningowe/zad/105) — Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{2^{50} + 1} + \sqrt{2^{50} - 1} \lt 2^{26}\).
- [Zadanie 47](https://matura.lol/question/sprawnamatura-cke-2025-pp/zad/47) — Wierzchołki \(A\) i \(C\) trójkąta \(ABC\) leżą na okręgu o promieniu \(r\). Środek \(S\) tego okręgu leży na boku \(AB\) tego trójkąta (zobacz rysunek poniżej)
- [Zadanie 34](https://matura.lol/question/matematyka-2019-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34) — Zadanie 34. (0-4) Dany jest trójkąt rozwartokątny ABC, w którym ACB  ma miarę 120°. Ponadto wiadomo, że 10 BC = i 10 7 AB = (zobacz rysunek). Oblicz długość tr
- [Zadanie 7](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2024/zad/7) — Rozwiąż równanie \[ x^{3}+5 x^{2}-2 x-10=0 \] Zapisz obliczenia.

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_