# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Wyrażenia algebraiczne

## Treść

Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego \( \frac{2x^2+2x+4}{x^4+3x^3-4x^2-12x} \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Dziedzina wyrażenia wymiernego to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których mianownik jest różny od zera.

## Krok 1: Warunek istnienia wyrażenia

Wyrażenie istnieje, gdy:
$$x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 12x \neq 0$$

## Krok 2: Wyłączenie wspólnego czynnika

Wyłącza się \(x\) przed nawias:
$$x(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) \neq 0$$

Już widać, że \(x \neq 0\).

## Krok 3: Rozkład wielomianu trzeciego stopnia

Rozkłada się \(x^3 + 3x^2 - 4x - 12\) metodą grupowania:
$$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3)$$

Wyłącza się \((x + 3)\):
$$= (x + 3)(x^2 - 4)$$

## Krok 4: Rozkład różnicy kwadratów

Rozpoznaję wzór \(x^2 - 4 = x^2 - 2^2\):
$$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$

## Krok 5: Pełny rozkład mianownika

$$x^4 + 3x^3 - 4x^2 - 12x = x(x + 3)(x - 2)(x + 2)$$

## Krok 6: Wyznaczenie dziedziny

Mianownik jest równy zero, gdy:
$$x(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0$$

Czyli gdy: \(x = 0\) lub \(x = -3\) lub \(x = 2\) lub \(x = -2\)

## Odpowiedź

Dziedzina wyrażenia:
$$x \in \mathbb{R} \backslash \{-3, -2, 0, 2\}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(x\in \mathbb{R} \backslash \{-3,-2,0,2\}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2008-marzec-probna-podstawowa/zad/2) — Zadanie 2. (6 pkt) Dany jest wielomian ( ) 3 2 2 9 18 W x x x x a) Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. b) Sprawdź, czy wielomiany ( ) W x i ( ) ( )( ) ( )( ) 2
- [Zadanie 6](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/6) — Zadanie 6. (5 pkt) Wielomian określony wzorem ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 11 2 2 1 W x x m x x m jest podzielny przez dwumian ( ) 2 x - oraz przy dzieleniu przez dwum
- [Zadanie 2](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2) — Zadanie 2. (5 pkt) Dany jest wielomian ( ) 3 2 2 13 W x x ax x b + . Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu ( ) W x 
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (5 pkt) Dane są wielomiany OQ(x)=x* - x? +2 i S(x)=-2x7 -2x+4. a. Sprawdź, czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu Q(x). b. Wielomian P(x) jest s

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_