# Matematyka — zadanie 25

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/25
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Na bokach trójkąta prostokątnego zbudowano trójkąty równoboczne. Wykaż, że pole figury zbudowanej na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól figur zbudowanych na przyprostokątnych.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-25.png]

Oznaczmy trójkąt prostokątny jako \( ABC \), gdzie kąt przy wierzchołku \( C \) jest prosty, a długości boków to:
- \( a \) — długość przyprostokątnej \( BC \)
- \( b \) — długość przyprostokątnej \( AC \)
- \( c \) — długość przeciwprostokątnej \( AB \)

## Krok 2: Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

## Krok 3: Wyznaczenie pól trójkątów równobocznych

Przypomnijmy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku \( s \):

$$P = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$$

Zatem pola trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach naszego trójkąta prostokątnego wynoszą:

- Pole trójkąta na przyprostokątnej \( a \): 
$$P_a = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

- Pole trójkąta na przyprostokątnej \( b \): 
$$P_b = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$

- Pole trójkąta na przeciwprostokątnej \( c \): 
$$P_c = \frac{c^2\sqrt{3}}{4}$$

## Krok 4: Obliczenie sumy pól figur na przyprostokątnych

$$P_a + P_b = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2)$$

## Krok 5: Podstawienie twierdzenia Pitagorasa

Ponieważ \( a^2 + b^2 = c^2 \), otrzymujemy:

$$P_a + P_b = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot c^2 = \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = P_c$$

## Wniosek

Udowodniliśmy, że:

$$P_c = P_a + P_b$$

czyli pole trójkąta równobocznego zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól trójkątów równobocznych zbudowanych na przyprostokątnych.

**Dowód bazuje na twierdzeniu Pitagorasa i fakcie, że pola figur podobnych są proporcjonalne do kwadratów odpowiadających im boków.**

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/25)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F25)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_