# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura próbna · styczeń 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Planimetria

## Treść

Trójkąty prostokątne \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(ABC\) mają długości \(5\) i \(12\), a przeciwprostokątna trójkąta\(DEF\) ma długość \(26\). Wyznacz pole trójkąta \(DEF\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-stycze-2014-28.png]

## Krok 2: Wyznaczenie przeciwprostokątnej trójkąta ABC

Trójkąt \(ABC\) ma przyprostokątne długości \(5\) i \(12\). Z twierdzenia Pitagorasa:

$$c_{ABC} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

## Krok 3: Obliczenie pola trójkąta ABC

Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych:

$$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$

## Krok 4: Wyznaczenie skali podobieństwa

Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Przeciwprostokątna trójkąta \(DEF\) ma długość \(26\).

Skala podobieństwa \(k\) to stosunek odpowiadających sobie boków:

$$k = \frac{c_{DEF}}{c_{ABC}} = \frac{26}{13} = 2$$

## Krok 5: Wykorzystanie własności pól figur podobnych

Jeśli dwie figury są podobne ze skalą \(k\), to stosunek ich pól wynosi \(k^2\).

Zatem:

$$\frac{P_{DEF}}{P_{ABC}} = k^2 = 2^2 = 4$$

## Krok 6: Obliczenie pola trójkąta DEF

$$P_{DEF} = P_{ABC} \cdot 4 = 30 \cdot 4 = 120$$

**Odpowiedź: Pole trójkąta \(DEF\) wynosi \(P = 120\)**

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(P=120\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-pr-bna-stycze-2014%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_