# Matematyka — zadanie 23

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/23
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Stereometria

## Treść

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-23.png]

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\).

Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość:

$$a=90:9 \\

a=10$$

Krok 3. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.

W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:

$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=25\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.

W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem:

$$P_{b}=a^2 \\

P_{b}=10^2 \\

P_{b}=100$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.

Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:

$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\

P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100 \\

P_{c}=300+50\sqrt{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/23)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2011%2Fzad%2F23)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_