# Matematyka — zadanie 26

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/26
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz \(3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2011-26.png]

Krok 2. Wyznaczenie wartości cosinusa.

Znając wartość sinusa możemy przy użyciu jedynki trygonometrycznej obliczyć wartość cosinusa:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

\left(\frac{1}{4}\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{1}{16}+cos^2α=1 \\

cos^2α=1-\frac{1}{16} \\

cos^2α=\frac{15}{16} \\

cosα=\sqrt{\frac{15}{16}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{15}{16}} \\

cosα=\frac{\sqrt{15}}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z treści zadania wynika, że kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie.

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.

Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy teraz obliczyć wartość tangensa:

$$tgα=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} \\

tgα=\frac{1}{4}:\frac{\sqrt{15}}{4} \\

tgα=\frac{1}{4}\cdot\frac{4}{\sqrt{15}} \\

tgα=\frac{1}{\sqrt{15}}$$

Niewymierności z mianownika na razie nie musimy usuwać, bo jak się za chwilę okaże zniknie nam ona w trakcie dalszych obliczeń.

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(3+2tg^2α\).

Znając wartość tangensa możemy już bez przeszkód dokończyć obliczenie naszego wyrażenia:

$$3+2tg^2α=3+2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{15}}\right)^2= \\

=3+2\cdot\frac{1}{15}=3+\frac{2}{15}=3\frac{2}{15}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(3\frac{2}{15}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/26)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2011%2Fzad%2F26)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_