# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Planimetria

## Treść

Na bokach trójkąta równobocznego \(ABC\) (na zewnątrz tego trójkąta) zbudowano kwadraty \(ABDE\), \(CBGH\) i \(ACKL\). Udowodnij, że trójkąt \(KGE\) jest równoboczny.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Spróbujmy połączyć ze sobą punkty \(LE\), \(DG\) oraz \(KH\). Powstaną nam wtedy trzy trójkąty \(ΔLEA\), \(ΔDGB\) oraz \(ΔKCH\) i będą to trójkąty równoramienne (bo ramionami są boki identycznych kwadratów).

Możemy nawet obliczyć miarę tego kąta rozwartego każdego z tych trójkątów i będzie to \(120°\). Skąd to wiemy? Spójrzmy na poniższy rysunek i na kąt \(\sphericalangle LAE\). W skład kąta pełnego wchodzą dwa kąty z kwadratów, kąt z trójkąta równobocznego oraz nasz kąt rozwarty \(\sphericalangle LAE\), zatem:

$$|\sphericalangle LAE|=360°-90°-90°-60°=120°$$

Analogicznie możemy przeanalizować kąty \(\sphericalangle DBG\) oraz \(\sphericalangle KCH\).

To z kolei prowadzi nas do bardzo ważnego wniosku - skoro trójkąty \(ΔLAE\), \(ΔDGB\) oraz \(ΔKCH\) mają te same długości ramion i mają taki sam kąt między ramionami, to na pewno są to trójkąty przystające (cecha bok-kąt-bok).

Tutaj warto też nadmienić, że kąty przy niebieskich podstawach będą mieć \(30°\). Skąd to wiemy? Są to trójkąty równoramienne, a kąt między ich ramionami wynosi \(120°\), zatem każdy z kątów przy podstawie musi mieć: \((180°-120°):2=30°\). Ta wiedza przyda nam się w drugim kroku.

Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty \(ΔEDG\), \(ΔKHG\), \(ΔLKE\) są przystające i zakończenie dowodzenia.

Spójrzmy teraz na kolejny rysunek:

Z pierwszego kroku wynika, że odcinki \(LE\), \(DG\) oraz \(KH\) są sobie równe. Równe też są na pewno odcinki \(LK\), \(ED\) oraz \(HG\), bo są to boki kwadratów. Widzmy także, że kąty:

$$|\sphericalangle KLE|=|\sphericalangle EDG|=|\sphericalangle KHG|=90°+30°=120°$$

To oznacza, że trójkąty \(ΔEDG\), \(ΔKHG\), \(ΔLKE\) są także trójkątami przystającymi, a skoro tak, to mają identyczne długości odcinków \(|KE|=|EG|=|GK|\), co jest dowodem na to, że trójkąt \(ΔKGE\) jest równoboczny.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-124.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-124a.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2011%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_