# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2011 (podstawowa)
- rok: 2011
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW| = 6\), \(|BW| = 9\), \(|CW| = 7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:

Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).

Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:

$$x^2+y^2=|BD|^2$$

I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.

Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.

Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)

Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)

Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(|BD|^2+H^2=81\), czyli \(x^2+y^2+H^2=81\)

Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.

Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:

$$x^2+36=81 \\

x^2=45 \\

x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:

$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \\

45+H^2=49 \\

H^2=4 \\

H=2$$

Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:

$$y^2+2^2=36 \\

y^2+4=36 \\

y^2=32 \\

y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy.

W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:

$$P_{p}=x\cdot y \\

P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \\

P_{p}=12\sqrt{10}$$

Krok 6. Obliczenie objętości bryły.

Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \\

V=4\sqrt{10}\cdot2 \\

V=8\sqrt{10}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-126.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(8\sqrt{10}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2011/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2011%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_