# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2012/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2012 (podstawowa)
- rok: 2012
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC| = |BC|\) oraz \(A = (2, 1)\) i \(C = (1, 9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.

Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(B\).

Współrzędne każdego punktu możemy określić jako \((x;y)\). Z treści zadania wiemy, że przez punkt \(B\) przechodzi prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x\). Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną \(y\) i zapisać współrzędne tego punktu jako: \(B=(x;\frac{1}{2}x)\).

Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej \(y\), a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.

Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.

Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki \(AC\) oraz \(BC\) mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne \(A\) i \(C\), zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu \(B\) z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:

$$|AC|=|BC| \\

\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\

(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2 \\

1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4} \\

65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82 \\

\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4 \\

5x^2-44x+68=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=5,\;b=-44,\;c=68\)

$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$

Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu \(B\).

Dla \(x=2\) otrzymaliśmy współrzędną punktu \(A\). To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt \(A\) także leży na prostej \(y=\frac{1}{2}x\)).

Współrzędne punktu \(B\) otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli \(x=\frac{68}{10}\). Brakuje nam jeszcze współrzędnej \(y\), ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:

$$y=\frac{1}{2}x \\

y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10} \\

y=\frac{68}{20}$$

Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:

$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5} \\

y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$

Poszukiwane współrzędne to \(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-100.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(B=\left( \frac{34}{5}, \frac{34}{10} \right)\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2012/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2012%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_