# Matematyka — zadanie 24

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/24
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Trygonometria

## Treść

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\) . Wtedy wartość wyrażenia \(2cos^2\alpha -1\) jest równa

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(cos^2α\).

W zadaniu wykorzystamy tak zwaną jedynkę trygonometryczną:

$$sin^2α+cos^2α=1$$

Widzimy że w poszukiwanym wyrażeniu pojawia się \(cos^2α\), więc spróbujmy wyznaczyć jego wartość, podstawiając do jedynki trygonometrycznej \(sinα=\frac{\sqrt{3}}{3}\):

$$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{3}{9}+cos^2α=1 \\

cos^2α=\frac{6}{9}$$

Wartości "czystego" cosinusa obliczać już nie musimy, bo nam do wyrażenia potrzebna jest wartość \(cos^2α\).

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(2cos^2α-1\).

Znając wartość \(cos^2α\) możemy bez problemu obliczyć wartość całego wyrażenia:

$$2cos^2α-1=2\cdot\frac{6}{9}-1=\frac{12}{9}-1=\frac{1}{3}$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** B

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/24)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2013%2Fzad%2F24)

## Podobne zadania

- [Zadanie 17](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/17) — Zadanie 17. (8 pkt) Rozwiąż równanie: x x x cos 4 ctg 2 sin 2 dla π 2 ,0 ∈ x . Ze zbioru rozwiązań tego równania losujemy bez zwracania dwie liczby. Oblicz praw
- [Zadanie 16](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/16) — Zadanie 16. (7 pkt) Dane jest równanie postaci ( ) ( ) cos 1 cos 1 0 ⋅ x x p , gdzie R p ∈ jest parametrem. a) Dla 1 p wypisz wszystkie rozwiązania tego równani
- [Zadanie 9](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-rozszerzona/zad/9) — Zadanie 9. (0-5) Rozwiąż równanie 𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙+ √𝟑𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙) -𝟑𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙= 𝟎 w przedziale [-𝝅, 𝝅]. Zapisz obliczenia. 9. 0-1- 2-3- 4-5 MMAP-R0_100 MMAP-R0_100 Rozwiąż równani
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-5) Rozwiąż równanie 3cos2𝑥+ √3sin(2𝑥) -3sin2𝑥= 0 w przedziale 〈-𝜋, 𝜋〉. EMAP-R0_100 Wypełnia egzaminator Nr zadania 12. Maks. liczba pkt 5 Uzyskan

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_