# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Stereometria

## Treść

Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2013-31.png]

Oznaczamy krawędź sześcianu jako \( a \), przekątną jako \( d = a\sqrt{3} \).

Z treści: \( a = d - 2 \). Podstawiamy:

$$ d = (d - 2)\sqrt{3} = d\sqrt{3} - 2\sqrt{3} $$

$$ d - d\sqrt{3} = -2\sqrt{3} $$

$$ d(1 - \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} $$

$$ d = \frac{-2\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{-2\sqrt{3} - 6}{-2} = 3 + \sqrt{3} $$

Sprawdzenie: \( a = 1 + \sqrt{3} \), \( a\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 = d \) - zgadza się.

**Odpowiedź:** \( 3 + \sqrt{3} \)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-108.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(3+\sqrt{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2013%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_