# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 5
- działy: Planimetria

## Treść

Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą \(6000\) m 2 . Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o \(10\) m i \(15\) m oraz powierzchnię większą o \(2250\) m 2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2013-32.png]

Krok 2. Wypisanie informacji z treści zadania i ułożenie układu równań.

\(s\) - szerokość pierwszej działki

\(d\) - długość pierwszej działki

\(s+10\) - szerokość drugiej działki

\(d+15\) - długość drugiej działki

Skoro pole prostokąta to P=ab, to dla dwóch działek możemy ułożyć następujący układ równań:

\begin{cases}

s\cdot d=6000 \\

(s+10)\cdot(d+15)=6000+2250

\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie powstałego układu równań.

Wymnóżmy najpierw poszczególne nawiasy w drugim równaniu, otrzymując wtedy:

\begin{cases}

s\cdot d=6000 \\

sd+15s+10d+150=8250

\end{cases}

Zgodnie z pierwszym równaniem możemy podstawić do drugiego równania \(sd=6000\) oraz \(s=\frac{6000}{d}\), zatem:

$$6000+15\cdot\frac{6000}{d}+10d+150=8250 \\

\frac{90000}{d}+10d-2100=0 \quad\bigg/\cdot d \\

10d^2-2100d+90000=0 \quad\bigg/:10 \\

d^2-210d+9000=0$$

Wykonanie ostatniego dzielenia przez \(10\) nie jest konieczne, ale dzięki temu będziemy operować na mniejszych liczbach.

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Skorzystamy tutaj z metody delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-210,\;c=9000\)

$$Δ=b^2-4ac=(-210)^2-4\cdot1\cdot9000=44100-36000=8100 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{8100}=90$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)-90}{2\cdot1}=\frac{210-90}{2}=\frac{120}{2}=60 \\

d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)+90}{2\cdot1}=\frac{210+90}{2}=\frac{300}{2}=150$$

Krok 5. Wyznaczenie wymiarów działki.

Otrzymaliśmy dwa wyniki i żadnego z nich nie możemy wykluczyć. To oznacza, że to zadanie będzie miało dwa rozwiązania.

Jeśli długość działki jest równa \(d=60\), to szerokość wynosi:

$$s=\frac{6000}{d} \\

s=\frac{6000}{60} \\

s=100$$

Jeśli długość działki wynosi \(d=150\), to jej szerokością będzie:

$$s=\frac{6000}{150} \\

s=40$$

Pierwsza działka ma wymiary \(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(40\times 150\) lub \(100\times 60\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2013%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_