# Matematyka — zadanie 34

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/34
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2013 (podstawowa)
- rok: 2013
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):

Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:

$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.

Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:

$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\

r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\

a\sqrt{3}=12 \\

a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.

Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:

$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\

72=4\sqrt{3}\cdot H \\

H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\

H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:

$$|OD|=r=2 \\

|SO|=H=6\sqrt{3} \\

\text{więc} \\

tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\

tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-110.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{9}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2013/zad/34)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2013%2Fzad%2F34)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_