# Matematyka — zadanie 17

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/17
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: closed
- punkty: 1
- działy: Planimetria

## Treść

Punkty \( A \), \( B \) i \( C \) leżą na okręgu o środku \( O \) (zobacz rysunek). Zaznaczony na rysunku wypukły kąt środkowy \( AOB \) ma miarę

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Obliczenie miar kątów \(ACO\) oraz \(BCO\).

Spójrzmy najpierw na trójkąt \(AOC\). Na pewno jest to trójkąt równoramienny, którego ramiona \(AO\) oraz \(CO\) mają długość równą długości promienia okręgu. To oznacza, że podstawą tego trójkąta jest bok \(AC\). Wiemy z własności trójkątów równoramiennych, że kąty przy podstawie mają tą samą miarę. W związku z tym:

$$|\sphericalangle ACO|=|\sphericalangle OAC|=40°$$

Analogicznie będzie wyglądać sytuacja w tym węższym trójkącie \(BOC\). Tutaj także jest to trójkąt równoramienny i także jego kąty przy podstawie mają równą długość, zatem:

$$|\sphericalangle BCO|=|\sphericalangle OBC|=20°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ACB\).

Miara kąta \(ACB\) jest sumą miar dwóch kątów, które wyznaczyliśmy sobie przed chwilą:

$$|\sphericalangle ACB|=|\sphericalangle ACO|+|\sphericalangle BCO| \\

|\sphericalangle ACB|=40°+20° \\

|\sphericalangle ACB|=60°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta środkowego \(AOB\).

Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że jeśli te dwa kąty są opisane na tym samym łuku (a tak jest w naszym przypadku), to miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego. Więc:

$$|\sphericalangle AOB|=60°\cdot2 \\

|\sphericalangle AOB|=120°$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** C

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/17)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2014%2Fzad%2F17)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2002-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (10 pkt) W trójkącie jeden z kątów ma miarę ° 120 . Długości boków tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego suma wynosi 30.
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2006-styczen-probna-podstawowa/zad/10) — W trapezie opisanym na okręgu kąty przy dłuższej podstawie mają miary \(60^{\circ}\) i \(30^{\circ}\), a długość wysokości tego trapezu jest równa 6. Sporządź o
- [Zadanie 18](https://matura.lol/question/matematyka-2005-grudzien-probna-rozszerzona/zad/18) — Zadanie 18. (8 pkt) Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu 2 5 R , wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma dłu
- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech 𝑥 oznacza długość odcinka łączącego środki ra

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_