# Matematyka — zadanie 28

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/28
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Stereometria

## Treść

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \( 24 \).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).

Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).

W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:

$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$

Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.

Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:

$$(2n)^3=8n^3 \\

\\

(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \\

=8n^3+24n^2+24n+8 \\

\\

(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \\

=8n^3+48n^2+96n+64$$

Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.

Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:

$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \\

=24n^3+72n^2+120n+72= \\

=24(n^3+3n^2+5n+3)$$

Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/28)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2014%2Fzad%2F28)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_