# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Ciągi

## Treść

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.

Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:

$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\

a_{5}=a_{1}+4r \\

\\

a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\

a_{10}=a_{1}+9r$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.

Zgodnie z treścią zadania:

\begin{cases}

a_{1}+4r=22 \\

a_{1}+9r=47

\end{cases}

Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:

$$4r-9r=22-47 \\

-5r=-25 \\

r=5$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.

$$a_{5}=a_{1}+4r \\

22=a_{1}+4\cdot5 \\

22=a_{1}+20 \\

a_{1}=2$$

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(a_1=2\), \(r=5\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2014%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 19](https://matura.lol/question/matematyka-2006-maj-matura-rozszerzona/zad/19) — Zadanie 19. (7 pkt) Nieskończony ciąg geometryczny ( ) n a jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym: ), 2 ( log ,2 2 1 1 ⋅ k a a a n n dla każdej liczby naturalne
- [Zadanie 20](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-rozszerzona/zad/20) — Zadanie 20. (7 pkt) Różnica ciągu arytmetycznego (an) jest liczbą mniejszą od 1. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia 50 49 1 a a a ⋅ wiedząc, że 1 51 = a
- [Zadanie 12](https://matura.lol/question/matematyka-2019-maj-matura-rozszerzona/zad/12) — Zadanie 12. (0-6) Trzywyrazowy ciąg ( ) , , a b c o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg 1 2 1 , , 3 2 2 a b a b c       jest geometryczny
- [Zadanie 4](https://matura.lol/question/matematyka-2017-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/4) — Zadanie 4. (6 pkt) Liczby a, b, c są - odpowiednio - pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg ( ) 2, , 2 1 

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_