# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2014 (podstawowa)
- rok: 2014
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \( 22 \), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.

Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.

Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.

$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|} \\

\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\

H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a \\

H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).

Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2 \\

\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2 \\

\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484 \\

\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484 \\

\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100 \\

25a^2+96a^2=48400 \\

121a^2=48400 \\

a^2=400 \\

a=20$$

Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.

Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:

$$P_{p}=a^2 \\

P_{p}=20^2 \\

P_{p}=400$$

Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.

Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:

$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20 \\

H=\frac{40\sqrt{6}}{5} \\

H=8\sqrt{6}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6} \\

V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-120.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2014/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2014%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_