# Matematyka — zadanie 31

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2015/zad/31
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 2
- działy: Geometria analityczna

## Treść

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-132.png)

Krok 2. Obliczenie pól trójkątów \(ADR\), \(PCR\) oraz \(ABP\), a także prostokąta \(ABCD\).

$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \\

P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \\

P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \\

P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(APR\).

Pole trójkąta \(APR\) obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:

$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \\

P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \\

P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \\

P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \\

P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Suma pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\) jest równa:

$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta \(APR\) w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2015/zad/31)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2015%2Fzad%2F31)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_