# Matematyka — zadanie 32

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2015/zad/32
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Geometria analityczna

## Treść

Wyznacz równanie osi symetrii trójkąta o wierzchołkach \(A = (−2, 2)\), \(B = (6, − 2)\), \(C = (10,6)\).

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Zaznaczmy sobie w układzie współrzędnych trzy punkty podane w treści zadania oraz dorysujmy oś symetrii tego trójkąta:

Skąd wiemy, że ta oś symetrii przechodzi przez wierzchołek \(B\)? Skoro trójkąt ma jedną oś symetrii (a tak wynika z treści zadania) to spodziewamy się, że jest to trójkąt równoramienny. Już po rysunku szkicowym widać, że parą ramion równej długości będą ramiona \(AB\) oraz \(BC\), a więc w takim przypadku symetralna będzie przechodzić przez wierzchołek \(B\). Jeśli jednak nie jesteśmy co do tego przekonani, to zawsze możemy sprawdzić długości każdego z boków, używając wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-x_{A})^2} \\

|AB|=\sqrt{(6-(-2))^2+(-2-2)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\

|BC|=\sqrt{(10-6)^2+(6-(-2))^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80} \\

|AC|=\sqrt{(10-(-2))^2+(6-2)^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}$$

Teraz już jesteśmy pewni, że jest to trójkąt równoramienny i że na pewno istnieje tylko jedna oś symetrii, która przechodzi przez punkt \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).

Punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AC\), bo wysokość trójkąta równoramiennego dzieli jego podstawę na dwa równe odcinki. Tak więc aby wyznaczyć współrzędne tego punktu \(D\) skorzystamy ze wzorów na środek odcinka:

$$x_{D}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{-2+10}{2}=\frac{8}{2}=4 \\

y_{D}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{2+6}{2}=\frac{8}{2}=4$$

W związku z tym współrzędnymi naszego punktu są \(D=(4;4)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania osi symetrii trójkąta.

Znajomość współrzędnych punktu \(D\) znacznie ułatwia znalezienie równania osi symetrii, bo wystarczy że skorzystamy ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. Prostą przechodzącą przez dwa punkty \(B=(6;-2)\) oraz \(D=(4;4)\) możemy opisać następującym równaniem:

$$(y-y_{B})(x_{D}-x_{B})-(y_{D}-y_{B})(x-x_{B})=0 \\

(y-(-2))(4-6)-(4-(-2))(x-6)=0 \\

(y+2)(-2)-6(x-6)=0 \\

-2y-4-6x+36=0 \\

-2y-6x+32=0 \\

-2y=6x-32 \quad\bigg/:(-2)\\

y=-3x+16$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-133.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(y=-3x+16\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2015/zad/32)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2015%2Fzad%2F32)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Okrąg 𝑜1 o środku w punkcie 𝑆1 jest określony równaniem (𝑥-6)2 + (𝑦+ 1)2 = 16. Okrąg 𝑜2 ma środek w punkcie 𝑆2 takim, że 𝑆1𝑆2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-4, 4
- [Zadanie 13](https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-rozszerzona-czerwiec-2026/zad/13) — W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) rozważamy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\), w których \(C = (0, 0)\), wierzchołek \(B\) leży na dodatnie
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest równoległobok 𝐴𝐵𝐶𝐷 o wierzchołkach 𝐴= (-8, -1) i 𝐷= (-13, 9) oraz środku symetrii 𝑀= (
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2024-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/11) — Zadanie 11. (0-6) W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) prosta o równaniu 3𝑥+ 𝑦+ 2 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦= 𝑥2 -2𝑥-8 w punktach 𝐴 oraz 𝐵, któ

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_