# Matematyka — zadanie 33

> Źródło: matura.lol — https://matura.lol/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2015/zad/33
> Wersja Markdown strony zadania (dla asystentów AI). Przy cytowaniu podaj matura.lol i link powyżej.

- arkusz: Matematyka · Matura · 2015 (podstawowa)
- rok: 2015
- poziom: podstawowa
- typ: open
- punkty: 4
- działy: Stereometria

## Treść

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

## Rozwiązanie — sprawnamatura

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).

Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:

$$3x\cdot4x=192 \\

12x^2=192 \\

x^2=16 \\

x=4$$

Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:

$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \\

|BC|=4x=4\cdot4=16$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).

Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):

$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\

12^2+16^2=|AC|^2 \\

144+256=|AC|^2 \\

|AC|^2=400 \\

|AC|=20$$

Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:

$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \\

|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \\

|AE|=10$$

Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:

$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \\

|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:

$$P_{p}=192 \\

H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \\

\\

V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\

V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\

V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-134.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-134a.png)

## Odpowiedź

**Odpowiedź:** \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)

_Źródło nieoficjalne._

## Linki

- [dane JSON](https://matura.lol/api/question/sprawnamatura-matura-sierpie-2015/zad/33)
- [otwórz w wyszukiwarce](https://matura.lol/?problem=sprawnamatura-matura-sierpie-2015%2Fzad%2F33)

## Podobne zadania

- [Zadanie 15](https://matura.lol/question/matematyka-2020-lipiec-matura-rozszerzona/zad/15) — Zadanie 15. (0-7) Rozpatrujemy wszystkie ostrosłupy prawidłowe czworokątne, w których suma promienia okręgu opisanego na podstawie i długości krawędzi bocznej j
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2005-maj-matura-podstawowa/zad/10) — Zadanie 10. (7 pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworz
- [Zadanie 11](https://matura.lol/question/matematyka-2004-styczen-probna-podstawowa/zad/11) — Zadanie 11. (7 pkt) Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że pole jego podstawy jest ró
- [Zadanie 10](https://matura.lol/question/matematyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/10) — Zadanie 10. (0-6) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 o podstawie 𝐴𝐵𝐶𝐷 i polu powierzchni bocznej równym 𝑃. Kąt między wysokościami sąsiednich ścia

_Ostatnia aktualizacja danych: 2026-10-03_